空間曲線
空間の点Pの描く空間曲線は
で与えられるが、これは原点Oを始点とする点Pの位置ベクトル
と与えられることと同等である。
そして、接線ベクトルは
で与えられる。
さらに、この曲線Cが滑らかなとき、位置ベクトルr(a)からr(t)までの弧の長さs(t)は
となり、
となり
よって、
となる。
dsを線元素という。
sはtの関数であるが、逆にtもsの関数と考えられるので、曲線は、曲線の長さを用いて
r=r(s)
とあらわすことが可能。
は曲線に接しsの増加する方向に向かうベクトルである。
何故ならば、
で、ベクトルtの向きは接線ベクトルdr/dtと同じだから。
sとs+Δsに対応する曲線上の点をP、Qとし、
だから、tは単位接線ベクトルである。
Qにおける接線ベクトルとPにおける接線ベクトルのなす角度をΔθとすれば、
は、曲線の長さに対する接線の向きの変化率をあらわし、
を点Pにおける曲率という。この定義から明らかなように曲率は正または０であり、曲線上の各点でκ=0である時は、この曲線は直線である。
単位法線ベクトルt同士の内積t・t=1を微分すると、
となり、
このnをPにおける（単位）主法線ベクトルといい、
となる。
また、曲率は
曲率の逆数
を曲率半径といい、曲線上のPから引かれたベクトルρnの終点を曲率半径の中心という。
また、曲線上の点Pにおける接線ベクトルと主法線ベクトルの外積
b=t×n
を、点Pにおける曲線の（単位）従法線ベクトルという。
したがって、
t、n、bは互いに直交する単位ベクトルで、右手系をなす。
また、
が成立し、τを捩率（れいりつ）という。
b・b=1なのでこれをsで微分すると
となり、bと
さらに、t・b=0をsで微分すれば、
となる。
なので、第２項はκn・b=0である。よって、
となり、tと
故に、
t、n、bの３つの単位ベクトルは右手系を構成するので、
n=b×t=−t×b
となる。
これをsで微分すると、
となる。
の３つの公式を合せてフルネ・セレの公式と呼ぶ。