空間曲線のベクトル方程式と接線ベクトル

空間曲線のベクトル方程式と接線ベクトル

 

空間曲線は、スカラー変数tを用いて

　　

であらわすことができる。

曲線上の任意の点P(x,y,z)とし、とおけば、rはtの関数だから、

　　

と書き、これを曲線ベクトル方程式という。

 

とすると、Δt≠0のとき

　　

はに平行である。

したがって、

　　

は、曲線の接線ベクトルと平行であり、これを曲線の接線ベクトルという。

また、

　　

を単位接線ベクトルという。

単位接線ベクトルtは大きさが１で変わらないので、

　　

したがって、tとは直交する。そこで、を曲線r(t)の法線ベクトルといい、

　　

を主法線ベクトルという。

また、曲線上の点における単位接線ベクトルtと単位主法線ベクトルnとの外積

　　

ベクトルを（単位）従法線ベクトルという。

 

曲線r=r(t)は、r'(t)が連続で常にr'(t)≠0であるとき、滑らかな曲線という。滑らかな曲線r=r(t)のa≦t≦bの部分の長さを弧長といい、弧長sは

　　

で与えられる。

 

 

問１　の単位接線ベクトルと、単位法線ベクトルを求めよ。また、t=π/4のときの接線の方程式を求めよ。

【解】

　　

よって、単位接線ベクトルtは

　　

また、

　　

よって、単位法線ベクトルnは

　　

である。

t=π/4の接線ベクトルは

　　

よって、接線の方程式は

　　

tを消去し

　　

（解答終）

 

t=π/4のときの、接線の法線ベクトルnは(-1/√2,1/√2)だから、接線の方程式を

　　

と求めることもできる。

 

 

問２　曲線の0≦t≦2πの曲線の長さを求めよ。

【解】

　　

（解答終）

 

 

曲線が弧長sをパラメータとしてr=r(s)で表されているとする。このとき、

　　

になるので、単位接線ベクトルtは

　　

である。

次に、平面上の曲線の曲がり具合（曲率）について考えることにする。

平面にある曲線上の点Pにおける接線とx軸のなす角をθとする。点Pが動くと接線とx軸のなす角θも変化する。このとき、単位弧長あたりのθの変化率を曲率といい、

　　

であらわす。

 

問題　曲線y=f(x)の曲率を求めよ。

【解】

tanθは接線の傾きなので、

　　

これをxで微分すると、

　　

また、

　　

だから、

　　

したがって、

　　

（解答終）