ディラックのデルタ関数
ディラックのデルタ関数δ(x)とは、次の性質をもつ超関数のことである。
このディラックのデルタ関数の性質を調べるためには、通常の微分積分の範囲を超える数学の知識が必要になるので、物理の本を参考にして、デルタ関数の性質をいくつか紹介することにする。
まず、
x≠0ではδ(x)=0だから、x≠0のf(x)の値は積分の値に無関係で寄与しない。
したがって、
また、
である。
これは、x–a=tとおくと、x=t+a
この積分の値に関係するのは、 （１）からt=0のときのf(t+a)の値。
したがって、
次に
である。
f(x)を任意の関数とする。
よって、
である。
さらに、
f(x)を任意の関数にすると、
t=−xとおくと、x=−tだから、x=−∞はt=∞、x=∞はt=−∞に対応する。
また、dx=−dtだから
したがって、
である。
さらにさらに、
f(x)を任意の関数とする。
を考える。ax=tとおくと、dx=dt/aだから
よって、
である。
最後に、デルタ関数の微分
f(x)を任意の関数とし、次の積分を考える。
−x=tとおくと、
これに部分積分を施すと、
また、
したがって、任意の関数f(x)について
以上のことをまとめると、ディラックのデルタ関数には次のような性質がある。
（ⅰ）はデルタ関数δ(x)が偶関数であることを表し、デルタ関数の導関数δ'(x)が奇関数であることを表している。
の極限で与えられることが知られている。
したがって、デルタ関数は正規分布の密度関数の一種と考えることができる。