第１９回 陰関数の極値
点(x₀,y₀)を含む領域Dでf(x,y)はC¹級であるとする。陰関数定理より、
である。
（１）式をさらにxで微分すると、
ここで、
したがって、f(x,y)がDでC²ならば、
である。
問題１ 関係式x²–2xy–y²=1で定まる陰関数について
【解】
（解答終）
【別解】
x²−2xy−y²=1をxで微分すると、
これをxで微分すると、
となるので、これに
を代入すると、
（別解終）
次に、f(x,y)をC²級とし、f(x,y)=0で定まるC²級の関数y=φ(x)の極値について考えることにする。
y=φ(x)がx=x₀で極値を取るとすると、陰関数定理より
また、y=φ(x₀)で極値をとるためには、
したがって、（２）式より、x=x₀におけるd²y/dx²の値は
となる。
よって、
のときy=φ(x₀)は極小となり、
のときに極大となる。
以上のことをまとめると、次の定理になる。
定理１９
f(x,y)をC²級の関数とし、y=φ(x)をf(x,y)=0の定める陰関数とする。
φがx=x₀で極値y₀=φ(x₀)を取るならば、
で、
問題２ 3x²+2xy+2y²=15の定める陰関数yの極値を求めよ。
3x²+2xy+2y²–15 =0に代入すると、
(x,y)=(−1,3)のとき
(x,y)=(1,−3)のとき
よって、
yは、x=−1のとき極大値3、x=1のとき極小値3をとる。
（解答終）
この程度の問題ならば、3x²+2xy+2y²=15をxに関する２次方程式と考え、２次方程式の判別式を使って解くこともできる。
【別解】
xに関する２次方程式3x²+2yx+2y²–15=0は実根を持たなければならないので、その判別式をDとすると、
y=−3のとき
同様に、y=3のときx=−1。
したがって、yは、x=−1のとき極大値3、x=1のとき極小値1を取る。
（別解終）
宿題 3x²+2xy+2y²=15で定まる陰関数yの極値を、１変数関数の微分を用いて求めよ。
この問題を自分で解くと、紹介した定理の有り難みがよく分かる！！