問題　次の曲線の概形を書け。


　　


【解１】


　　


また、


　　


だから、


　　


となる。


したがって、


　　


増減表を書くと


 






x




−3




・・・




−2




・・・




0




・・・






y₁’




 




＋




0




−




 




＋






y₁




0




増加




2（極大）




減少




0（極小）




増加






y₁’’




 




−




 




＋






凸凹




 




凹




変曲点




凸






 


y₂はy₁とx軸に対して対称だから、曲線の概形は次の通り。




 


（解答終）


 


高校レベルの微分を用いれば、上のように解くのが正攻法であろう。


しかし、曲線y²=x²(x+3)は次のように分解することも可能である。


　　


このように考えると、次のような解答を作ることができるだろう。


 


【解２】


曲線y²=x²(x+3)を


　　


と分解する。


曲線y₂は曲線y₁をx軸に関して折り返したものだから、y₁だけを考えれば十分。


　　


よって、増減表（凹凸表）は次の通り。






x




−3




…




−2




…






y₁’




 




−




0




＋






y₁




0




減少




−2




増加






y₁’’




 




＋






凹凸




 




凸






 


したがって、この曲線の概形は次の通り。





【解答終】


 


【解１】と【解２】、どちらが楽かは言わずもがなだろう。


 


しかし、こんなことを言いたくて、この問題を解いたわけではない。


【解１】の


　　


【解２】の


　　


のy₁、y₂ともに、y²=x²(x+3)から決まるxの関数である。


しかし、解１の関数の場合、x=0で微分不可能であり、また、y₁はx=0で極小、y₂はx=0で極大である。


x=0で微分可能かによって、原点Oでこの曲線の接線が引けるかどうかの違いも出てくる。


解１の場合、x=0で微分不可能だから接線は存在しないが、解２の場合、x=0でy₁、y₂ともに微分可能で、接線が２本存在することになる。


原点Oで曲線の接線を引けるかどうか、この差は決定的だケロ。


 


曲線上の点で接線が２本引けるというのも考えてみれば妙な話のように思える。さてさて、この曲線の原点(0,0)における接線は０本か、それとも２本か、なんとも悩ましい話である。


 


出ないと思うけれど、もし、大学入試で「この曲線の原点(0,0)における接線を求めよ」という問題が出題されたら、受験生はどのように答えるのだろうか。


実に興味深い問題である(^^)


 


なお、この曲線


　　


で囲まれている領域（下図参照）の面積Sは、


　　


だから、t=x+aとおくと、x=−a →t=0、x=0→t=aに対応し、dx=dtだから


　　


である。




 



宿題　曲線y²=x²(x–3) の概形をかきなさい。


 


おそらく、このグラフを書けるヒトは意外に少ないに違いない！！