無限大、無限小とランダウ記号
§１ 関数の無限大、無限小
aを実数または±∞とする。
関数f(x)、g(x)が点aで無限小のとき、
という。
例１
f(x)=x²,g(x)=xとすると、x→0のとき
だから、f(x)はg(x)より高位の無限小。
f(x)=sinx、g(x)=xとすると、
だから、f(x)とg(x)と同位の無限小。
f(x)=x、g(x)=x²とすると、
だから、f(x)はg(x)より低位の無限小。
関数f(x)、g(x)が点aで無限大のとき、
という。
例２
f(x)=logx、g(x)=xとすると、
だから、logxはxよりも低位の無限大。
だから、
問 次のことを示せ。
［解答（？）］
ロピタルの定理より
［解答（？）終了］
§２ ランダウの記号
x→aのとき、f(x)/g(x)が無限小、つまり、
のとき、
で表す。この記号o(g(x))をランダウ記号（oをランダウのスモール・オー）という。特に、
と定める。
例３ f(x)=sinxは、x→0ならばf(x)→0だから
また、f(x)=x²、g(x)=xとすると、x→0のとき、
だから、
しかし、f(x)=x、g(x)=x²のとき、
だから、
つまり、
は、一般に成立しない。
x→aのときに、f(x)/g(x)が有界にとどまるならば、これを
で表す。（Oをランダウのビッグ・オーという）
特に、
のとき、
である。
例４
x→0のとき、
だから、
また、xが0に限りなく近いとき（ただし、x≠0）
だから、有界。
よって、
である。
ラウンダウ記号にはスモール・オーoとビッグ・オーOの２種類があるのだが、以降、スモール・オーo、つまり、o(g(x))をランダウ記号と呼ぶことにする。