第５８回　留数定理の定積分への応用　問題編３


タイプⅢ　

f(z)は複素平面の上半平面Imz≧0で有限個の極を除いて正則であり、またはとする。

このとき、

　　

f(x)が偶関数のとき

　　

f(x)が奇関数のとき

　　

問題１　次の定積分を求めよ。

　　

【解】

　　

とおくと、f(z)は偶関数、

　　

で、上半平面にもつ極は１位の極z=iaのみ。

留数を求めると、

　　

したがって、（２）より

　　

（解答終了）

この問題は、上の公式を使わずとも、次のように計算することができる。


【別解】

　　

とおく。

　　

だから
　　

だから、

　　

右の図の積分路に沿って積分をすると、積分経路内にある極はz=iaだから、留数は

　　

したがって留数定理より

　　

また

　　
だから、

　　

（別解終）


問題２　a>0、b>0のとき、次の定積分の値を求めよ。

　　


【解】

（１）

　　

とおくと、f(z)は奇関数で、上半平面に１位の極z=iaをもつ。

また、

　　

留数を求めると、

　　

したがって、（３）より

　　


（２）

　　

とおくと、これは奇関数。

また上半平面に２位の極z=iaをもち

　　

したがって、留数は
　　

（３）式より

　　

（解答終了）