第22回 違う方法で解く
問題1
x+y=kとおき、y=k–xを
xは実数なので、上のxの2次方程式は実根を持たなければならないにゃ。
で、判別式を使うと、
よって、最大値は√2、最小値は−√2。
【別解2】
この他にも解答は幾つか考えられるけれど、このあたりが代表的なものなんだろう。
ちょっと毛色の違う解答を示すならば、コーシー・シュワルツの不等式
問題2
【別解1(?)】
だケロ。
ここで、相乗平均≦相乗平均
で、
なので、
となる。
等号が成立するときは
相乗平均≦相加平均を使うときは、これを満たすxとyなどの値が存在することを示さないといけないにゃ。問題によっては、そんなxとyが存在しないことがあるので。
【別解2(?)】
として、
と正弦関数の2倍角の公式を使ってもいいにゃ。
そうすれば、
だから、・・・。
前回やった程度の問題ならば、ラグランジュの未定乗数法や微分積分すら使う必要がないんだにゃ。
「ラグランジュの未定乗数法をどのように使うか」の練習問題だったワケなんだにゃ。
ならば、x=acosθ、y=bsinθとするにゃ。
と考え、
とすればいいにゃ。