第２１回 ラグランジェの未定乗数法
たとえば、x+y=1のとき、
の最小値を求めよという問題があるとするにゃ。
これやy=1–xとｙを消去すれば、となるので、x=(y=)1/2のときに最小で、最小値は1/2となることがわかるにゃ。
微分を使って、などから、最小値を求めてもいいにゃ。
だけど、というような問題だと、ｘやｙを消去してというわけにはちょっといかない。
しかし、ラグランジェの未定乗数法という方法を使うと、こうした制限付きの極値問題や、最大値・最小値の問題を解ける場合がある。
だから、ねこ騙し数学においても、ラグランジュの未定乗数法をやろうじゃないか、という訳だにゃ。
仮にφ(x,y)=0という制限がついていたとするにゃ。φ(x,y)が
となり、これをxで微分すれば
で、陰関数定理から
となるから、
となるにゃ。
で、g(x)がx=aで極値をとるとするとg'(a)=0なので、b=ψ(a)とすると、で、
とすると、
さらに、
となり、
も成立するにゃ。
が成立するのは、(A)より
となり、
で、
でもある。
未知数はa、ｂ、λの３つ、方程式は①、②、③の３本だから解けるはずだ、というわけだケロ。本当に、このラグランジュの未定乗数法で解けるか、最初の例でやってみるにゃ。
とするにゃ。
で、
として、これをxとyでそれぞれ偏微分すると、
となるにゃ。
この上の式を下の式で引けば、x=yになるので、x+y–1=0と合わせれば、x=y=1/2となり、このことから、f(x,y)の極値（？）が
という訳だにゃ。
問題１
【解】
として、ラグランジュの未定乗数法を用いる。
よって、
これを
に代入すれば、λは出てくるけれど、欲しいのはλじゃなくて(x,y)だから、x=yを使えば
となり、このことから
となり、x+yの最大値が√2、最小値が−√2であることがわかるにゃ。
問題２
【解】
とするにゃ。
このことから、
そして、
④、⑤、⑥の連立方程式を解けばいいんだけれど、これは問題１の時と違ってちょっと厄介なんだケロ。
④からこれを⑤に代入すると、
この両辺に−2をかけて整理すると、
になる。
で、ならば、これで両辺を割ることが出来て、x=0となり、そして、y=0となるにや。
でも、これは⑥式を満たさないから、でなければならない。
で、このλに関する②次方程式を解けば
となるにゃ。
で、λ=−1を④に代入すると、これを⑥式に代入すると、
λ=−5を④式に代入すると
これを⑥式に代入すれば、
となる。
この４つを
に代入すれば最大と最小値は出てくるにゃ。
最大値は２０、最小値は４になるはずだにゃ。
の時が最大で２０、
の時が最小で４になるはずだにゃ。
線形代数なんかを知っている人は、④と⑥の連立方程式を解く時、これが(x,y)=(0,0)の時
でなければならない、とするとオシャレにゃ。