第２０回 陰関数の微分２
前回、f(x,y)=0によって定められるy=φ(x)の微分が
になるということをやりましたにゃ。
これをさらにxで微分するとどうなるか、これをやってみるにゃ。
とすると、
だから、
それで、
になるので、
u、v、u'、v'を①に代入して、真面目に計算すると、
となるにゃ。
こんな式を覚える必要はないにゃ。
ただ、これを使うと、f(x,y)=0によって定められる陰関数y=φ(x)の極値の判定が便利になるにゃ。
というのは、極値になる点ではy'=0となるので、
よって、極値のところで、⑨は
になる。
だから、②式を使って陰関数y=φ(x)の極値の判定ができるというわけだにゃ。
ということで、これを定理とするにゃ。
定理
関数f(x,y)を
さらに、
である。
これを使って前回の問題を解いてみるにゃ。
問題１
で定められる陰関数の極値を求めよ。
【解】
極値のところではf_x(x,y)=0にならなければならないので、
これと、
より、
になる。
で、極値なる点では
だから、
となり、x=1/√3のところでは極小。
x=−1/√3のところでは極大。
よって、
となる。
前回の解答より計算量が減っていて、楽になっているんじゃないケロか。
これはf(x,y)の極値の問題ではないので、
から停留点を求めてはいけないにゃ。
今、やっているのは、f(x,y)=0で定まるy=φ(x)の極値を求める問題なので、混同をしないで欲しいにゃ。
問題２
から定まるy=φ(x)の極値を求めよ。
【解】
―――３次方程式には解の公式があるので、出来ないことはないが・・・―――
として、
から停留点を、まず、求めるにゃ。
また、
なので、x=0を代入して、上の方程式を解くと、
になり、停留点は(x,y)=(0,0),(0,1),(0,−1)になるケロ。
で、
よって、
となり、
x=0、y=0のとき、極小値で、x=0、y=1とx=0、y=−1のとき極大値となる。
「ちょっと待った、⑨ネコ。この陰関数はx=0のところで、３つも値があるじゃないか。しかも、x=0のところで極大値と極小値を持ち、極大値の一つは−1で極小値の０より小さいじゃないか！！ おかしいんじゃないか！！」
「だ・か・ら、前回、『これは厳密なことを言ったら関数じゃない』って言ったにゃ。陰関数というのは、結構、胡散臭いところがあるんだケロ。」