第１９回 陰関数と陰関数定理
例えば、
という関数があるとするケロ。
で、f(x,y)=0のとき、
というふうにy=φ(x)と表すことができるにゃ。
また、
ならば、
と、やはり、y=φ(x)というふうに、ｙをｘの関数として表すことができる。
―――厳密なことを言うと、①は関数ではないけれど・・・―――こういう関数φ(x)を、f(x,y)=0で定まる陰関数と呼ぶケロ。
定義
f(x,y)=0に対して、関数y=φ(x)がf(x,φ(x))=0を満たす時、y=φ(x)をf(x,y)=0で定まる陰関数と呼ぶ。
で、f(x,y)が
となり、
のとき、
となる。
ただし、陰関数の微分dy/dxを求めるとき、必ずしも⑨四季を使う必要はないにゃ。
例えば、
の時は、yをxの関数と考えて、１変数の微分をすればいい。
と計算すればよい。
ちなみに、ね。
⑨式を使うならば、
となるにゃ。
で、①は関数じゃないと言ったにゃ。①の定義域は−1≦x≦1だケロ。x=±1の時以外、yは二つの値を持つケロ。例えば、x=1/2のとき、y=±√3/2だにゃ。関数というのは、xの値に対して１つの値しか持ってはいけないのに、２つの値を持っているので、
は関数じゃないんだケロ。
―――ねこ騙し数学では、複数の値を持つ多価関数を関数と認めていない―――
で、証明はしないけれど、陰関数定理を紹介するにゃ。
陰関数定理関数f(x,y)が点(a,b)の近傍で
ならば、aを含む開区間I上の級であり、
級関数φ(x)で
を満たすものがただ一つ存在する。
紹介しただけにゃ。この定理の証明は、結構、面倒なんだにゃ。だから、この条件を満たす時、陰関数が存在するということだけを知っておいて欲しいんだにゃ。
この陰関数定理は、後で使うんで・・・。
問題 次の関数の定める陰関数y=y(x)の極値を求めよ。
【解】
yをxの関数と考えて、ｘで微分する。
x+2y≠0のとき、
極値をとるところではy'=0なので
y=−2xを
で、極値の判定をするためにy''を求めたいにゃ。②式をxで微分すると、
になるにゃ。
となり、
もちろん、
をyについて解いて、すなわち、
として、xで微分して、極値を求めてもいいにゃ。
計算力のある人は、これを微分して同じ答になることを確かめて欲しいケロ。