第１３回 偏微分の演習１
これまでは理論的な話ばっかりだったので、ここらで、ここまでの知識を使った偏微分の演習をやりますにゃ。
まず、おさらいとして留意するべきことを一点だけ。
偏微分するときは、xについて偏微分するときにはyを定数に、yについて偏微分するときはxを定数として、一変数の微分をする。
なぜならば、z=f(x,y)とすると、
で定義されているから。
xについて偏微分するときはyは一つの値に固定されていて動かない。
yについて偏微分するときはxは一つの値に固定されていて動かない。
だから、xについて偏微分するときにはyは定数、yについて偏微分するときにはxを定数として考えてよい。
ひょっとしたらすこし混乱させるかもしれないけれど、y=g(x)という一変数関数があって、これが微分可能であるとする。そして、z=xyとする。このとき、ｚの微分は
になる。これはyがｘの変化とともにその値が変化するから。
対して、z=f(x,y)= xyという関数の偏導関数は
になる。
このことは、偏導関数の定義にしたがって実際に計算をしてみればよくわかる。
何か困ったことに遭遇したら、定義に戻って考える！！
【解】
（１）は暗算でできるだろ。
(2)は
として、前回やった偏微分の合成公式を使う。その前に、
というtanの逆関数の微分公式を思い出して欲しいにゃ。
そして、前回、言ったように、前回のタイプの合成関数の偏微分は
と分数風に覚えていれば簡単。
そして、
このことから、
となる。
もちろん、こんな公式なんか知らなくても、xで偏微分するときはyは定数、yで偏微分するときはxが定数と考えて一変数のように微分して、
と計算してもいいにゃ。
微分の最も基本的な公式
は忘れていないよな。
最低限、この公式を覚えていないと、微分の計算は出来ないからな。これだけは絶対にどんなことがあっても忘れてはいけない。
ちなみに、
宿題 次の偏導関数を求めよ。
z= sin(xy)
【ヒント】
u=xyと置き
ほとんどの人は暗算でできると思うけれど、念の為にヒントを書いた。
発展問題
のとき、
が成り立つことを示せ。
ただし、cは定数、fとgは
【解】
u=x+ctとおくと、
下の奴は
で、v=x–ctとすれば、
となるので、
になる。
よって、xでの２階偏微分は
で、v=x–ct
とおくと
だから、
このことから、もう一回tで偏微分するとき
になるのは分かるケロ？
⑨のところがわからなければ、
とおくと、
となるのがわかるでしょ。
以上のことから、
で、この問題の
は何かというと、波動方程式と呼ばれるもので、波を表す微分方程式なんだケロ。そして、定数ｃは、波の速さを表すんだにゃ。
光の波ならばcは秒速３０万キロ、空気中の音ならば音速になるケロ。