第１０回 全微分の続き
今回する話は、まったく分からなくても、まったく問題なし。何か具体的な関数を偏微分するとき、こんなもの使いやしない。こんな細かいことを気にする必要はないケロ。
全微分の定義
領域D上で定義された関数f(x,y)がDの全ての点で全微分可能であるとき、fは全微分可能であるといい、
をf(x,y)の全微分という。
一点(a,b)で全微分可能か、関数が定義されている定義域Dのすべての点で全微分可能か、この違いだケロ。ちなみに、
のことだにゃ。
そして、
のことだにゃ。
で、これは何を言っているかというと、
と
一変数の場合は、
と接線で近似できるけれど、２変数の場合は、接平面で近似できるというわけだケロ。
ということで、天下り的に,接平面の定義(^^ゞ
接平面の定義
関数f(x,y)が点(a,b)で全微分可能とする。このとき、
をz=f(x,y)の(a,b,f(a,b))における接平面という。
２次元から急に３次元の話になっているので申し訳ないんですが・・・。
で、ちょっと問題をひとつ。
【解】
になる。
とhとkの前のやつが定数になっているんだから、これは文句なく全微分可能だろ。
そして、ここでさり気なくhとyをdxとdyにすり替え、
とすれば、
になっているケロ。
でも、こんな答をテストの答案に書いたら、大学の先生は怒るかもしれない(^^ゞ
そこで、次の定理を上げることするにゃ。
定理
【証明】
証明すべきことは、
とするとき、
になることだにゃ。
そこで、
平均値の定理より
よって、
となる。
ここで、
よって、
よって、
みたいな証明。
普通の多変数の微分・積分で扱う関数は
問題として取り上げた
だから、細かいところを気にすることなく、おおらかに行こう！！
何か変なことが起きたら、そのとき、細かいところを気にすればいいんだケロ.
そして、さり気なく定理をもうひとつ付け加える。
定理