試しにオイラー法で解いてみた


 


「この微分方程式くらいならば、オイラー法で十分じゃねぇ」と思ったので、


今日の記事で取り上げた


　　


の近似解（数値解）を、最も簡単なオイラー法で求めてみた。


その結果は、コチラ↓。


 



 


とりあえず、これだけ合っていれば十分だろう。


 


上の連立微分方程式の場合、オイラー法を用いると、、時刻tにおけるu(t)、x(t)の値を元に、時刻t+Δtのu(t+Δt)とx(t+Δt)が


　　


という簡単な式で表される。


Δtを一定にし、


　　


とすると


　　


 


ここからは余談だけれど、


①は次のように変形すると、


　　


となり、そして、Δtは一定と仮定しているので、数列は初項、公比1−Δtの等比数列であることわかる。


したがって、


　　


で、u₀=1とし、区間[0,1]をn等分すると、


　　


となるので、


　　


そした、n→∞の極限を取ると


　　


で、


　　


の解は


　　


だから、t=1とすると、


　　


となり、この両者は一致するのであった。


 


ということで、


もうひとつの微分方程式


　　


も、オイラー法で、結構、いい精度で解くことが出来そうだね。


こちらの場合は、


　　


 


話を簡単にするために、としたけれど、


角度θで投げ出す斜方投射の場合、初期値は


　　


だケロよ。


そして、γは無次元化された重力加速度であることに注意。


この無次元重力加速度に質点の質量、空気抵抗の比例定数などがすべて集約されているんだケロよ。


 


あと、Bloggerの方に、斜方投射のアニメーション動画をアップしておいたので、興味のある奴は見るといいにゃ。


リンク先はこちら↓


http://nemneko.blogspot.com/2019/08/blog-post.html


 


そしていつもどおり、自画自賛をして、記事を結ぶのであった。