第４回　ラプラス変換の微分方程式への応用


 


ラプラス変換を用いた、２階の定数係数常微分方程式の初期値問題の解法について考える。


　　


y(t)、f(t)をラプラス変換し、


　　


とおくと、ラプラス変換の微分法則より


　　


となるので、微分方程式をラプラス変換すると、


　　


となる。


これをY(s)について解くと、


　　


となり、Y(s)をラプラス逆変換することによって、微分方程式の解を求めることができる。


 


ラプラス逆変換


となるような関数f(t)が存在するとき、f(t)をF(s)のラプラス逆変換といい、記号


　　


で表す。








問題１　次の微分方程式の解y=y(t)を求めよ。



【解】


（１）　とおき、微分方程式の両辺のラプラス変換を求めると、


　　


この両辺のラプラス逆変換をとると、


　　


だから、


　　


 


（２）　とおき、微分方程式の両辺のラプラス変換を求めると、


　　


これをYについて解くと、


　　


両辺のラプラス逆変換をとれば、


　　


（解答終）


 


 


問題２　次の微分方程式を解け。


　　


【解】


とおき、微分方程式の両辺のラプラス変換をとると、


　　


これをYについて解くと、


　　


両辺のラプラス逆変換をとると、


　　


（解答終）


 


 


問題３　次の微分方程式を解け。


　　


【解】


とおき、微分方程式の両辺にラプラス変換をほどこすと、


　　


X、Yについて解くと


　　


このラプラス逆変換をとると、


　　


（解答終）


 


問題４　次の微分方程式を解け。


　　


【解】


とおき、微分方程式の両辺のラプラス変換をとると、


　　


よって、


　　


X、Yについて解くと、


　　


よって、


　　


（解答終）