［数列の極限値］

　ddt^3です。

　ねぇねぇネコ先生、極限が存在する漸化式って、絶対に縮小写像（注１）になってますよね？(^^)。

例えば、

なら、

とおく事で、

を考えれば、

ですよね？。（注２）

でも図-1はx方向に－1平行移動すると、さらに具合が良さそうじゃないですか(^^)。

　この時、f(x)，g(x)は（図-2)、

　ああでも、g(x)＝xでなくなった。それが成り立たないと、縮小写像の計算が面倒になる（一般的には）。

　・・・そうだ！、y方向に－1平行移動しよう。この時、f(x)，g(x)は（図-3）、

となる。これを通常の漸化式に戻すと、

なぁ～んだ、等比数列を扱えば良いだけじゃない(^^)。

　いやぁ～、x方向に－1平行移動した時、

　　・f(x)の切片もg(x)の切片も1になる、(1)の形で助かったぜ！(^^;)。

　・・・という事にはなるんですが、このやり方を知ってると、等比数列に落とし込む方法とか、等比数列に落とし込める条件とかを予想できる事になります。しかし普通の高校生は、こんな事は絶対に自分では考え付けないし、教師も絶対に教えません。教師もそこまで考えてないのが普通だと思うし。

　自分が高校生の頃、こういう事を平気で考え付ける数学の天才がいたんですよ。この問題に関してそいつの説明を聞きましたが、「全くのチンプンカンプン」でした(^^;)。

　何故ならポイントは、

　「極限が存在する漸化式は常に縮小写像になっている」

　「よってグラフを描いて判断すればいいのだ」

だからです。高校生の世界を超えてますよね(^^)。彼は数学に関しては超高校生だったと思います。

　自分がこういう事を考え付けるようになったのは、関数解析の本なんかを読み出して、そこに出てくる縮小写像の例題なんかを考え出してからでした。なので今はこんな話も出来ますが、非常にみっともないと思う。まさに、

　「卵の殻を割るのに、鉈をふるう」

ようなものだと思える。超高校生の彼には、とうてい及ばないなぁ～(^^;)

（執筆　ddt³さん）

（注１）　縮小写像

とする。

0<c<1となるaが存在し、すべての、x,y∈Xに対して、

が成り立つとき、写像fを縮小写像という。

（注２）　このような解法をクモの巣図法、この図をクモの巣図と呼んだりする。

ウィキペディアの「クモの巣図法」

以下のページに「縮小写像の不動点定理」についての、高校生向け（？）の読み物が出ているので、興味のあるヒトは読んでみるといいのでは。

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