第１９回 選択公理と整列可能定理
§１ 選択公理
Λを添字の集合とする集合系
となるようなものの全体を集合系
で表し、各
特に、
と一致する。
Nを自然数全体の集合とし、Λ=Nのとき、
で表すことがある。
集合系
Λ≠∅、かつ、すべてのλ∈Λに対して、
が成り立つ
を選択公理という。
直積
Aを任意の空でない集合とする。
先に、任意の無限集合Aは可算な部分集合をもつことを示した。
その際、Aから元a₁を選び、次にA−｛a₁｝から元a₂を選び、さらにA−｛a₁,a₂｝から元a₃を選び、以下の操作を繰り返すことによって可算集合
このことが明確になるように示すと次のようになる。
定理 任意の無限集合は可算部分集合をもつ。
【証明】
集合Aが無限集合であるとし、fを集合Aの上の１つの選択関数とする。
まず、
同様に、一般に
とおく。
すると、
（証明終）
定理（濃度の大小）
A,Bを集合とする。AからBへの全射が存在すれば、｜B｜≦｜A｜である。
【証明】
b∈Bに対して、
とおくと、fは全射であるので、
よって、選択公理より、
は空でない。
したがって、
（証明終）
§２ 整列可能定理
空でない任意の集合Aに順序を定め、整列集合にできるか、という問題がある。
選択公理を仮定すると、この問いに肯定的に答えることができる。しかし、この証明は難しいので、ここでは整列可能定理のみを紹介し、整列可能定理から選択公理を証明することにする。
整列可能定理
任意の集合は、その上にある順序を定義して整列集合にすることができる。
問題 整列可能定理を用いて、選択公理を証明せよ。
【証明】
とし、整列可能定理によりAを整列する。この整列順序に関する
よって、
（証明終）
また、整列可能定理を用い、次の定理を証明することもできる。
定理 （濃度の比較定理）
α、βを任意の濃度とすると、
のうちの１つだけが成立する。
【証明】
｜A｜=α、｜B｜=βである集合A、Bをとり、整列可能定理により、A、Bのそれぞれの上に整列順序を与えることができる。
すると、
のうちのいずれか１つだけが成立する。
ゆえに、
（１）の場合は｜A｜=｜B｜、（２）の場合は
すなわち、α=βまたはα≦βまたはα≧β。
したがって、α<β、α=β、β>αのいずれか１つが成立する。
（証明終）
§３ Zornの補題
Aを空でない順序集合とする。Aの任意の空でない全順序部分集合Xに対して上限が存在するとき、Aを帰納的な順序集合という。
Zornの補題
Aが帰納的な順序集合ならば、Aは極大元を持つ。
証明はしないが、次のことが知られている。
定理
次の（１）〜（３）は同値である。
（１） 選択公理
（２） Zornの補題
（３） 整列可能定理
集合論の教科書などでは、選択公理→Zornの補題→整列可能定理の順に証明し、そして、整列可能定理から選択公理を証明し、選択公理、Zornの補題、整列可能定理の３つが同値であることが示されるのが一般的であるが、選択公理から整列可能定理を直接証明することもできる。
そして、この３つは同値なので、どれを出発点、つまり、公理に採用して、理論を展開してもよいのであった。