第２０回 順序型

第２０回　順序型

 

を順序集合とする。全単射が存在し、fおよびf⁻¹がともに順序を保つ写像であるとき、ととは順序同型といい、

　　

であらわし、fを順序同型写像という。

 

濃度の場合と同様に、順序集合全体のクラスをによって類別し、各同値類にラベルをつけることができる。順序集合（A,≦）に付けられたラベルを順序型といい、記号や単になどで表す。

すると、

　　

が成り立つ。

 

有限濃度nをもつ集合A、Bにそれぞれの順序を与えて、順序集合を作ると、これらはつねに順序同型である。

何故ならば、A、Bの元は

　　

と並べることができる。

　　

とするとφは順序同型写像である。

したがって

　　

これより、有限濃度nの集合から得られる順序集合の順序型はただ１つしか存在しない。

一般に、濃度αの任意の集合Aから作られる任意の順序集合（A,≦）の順序型をα−順序型というが、上で述べたことより、n−順序型は１つしかない。

しかし、αが無限濃度の場合、α−順序型は１つとは限らない。

たとえば、

　　

は同型ではないから、とは、相異なる−型順序である。

自然数全体の集合Nの順序型をω、整数全体の集合Q、有理数全体の集合Qと実数全体の集合Rの順序型をそれぞれγ、η、λで表すことがある。

 

問１　A〜Bかつならば、となるようなB上の順序があることを示せ。

【解】

A〜Bだから、BからAへの全単射（１対１対応）φが存在する。

Bの任意の元x、yに対してのときとおくと、はB上の順序で、φはからへの順序同型写像となる。

よって、

　　

である。

（解答終）

 

問２　であってもとなることがある。そのような例を１つあげよ。

【解】

　　

とすると、

　　

しかし、

　　

（解答終）