ラゲールの微分方程式と多項式
yについての2階線形微分方程式
をラゲール(Laguerre)の微分方程式という。
ラゲールの微分方程式
の1つの解は、次のn次多項式
である。これをラゲールの多項式という。
問題 次のことを示せ。
(1)
(2)
の解である。
【証明】
(1) ライプニッツの公式より
(2)
この両辺をn+1回微分すると、
また、
これを代入すると、
(証明終)
ラゲールの多項式
【証明】
(1)
また、
これを代入すると、
(2)
これを代入すると、
(3)
n/xをかけると
(証明終)
ライプニッツの公式
関数f、gがn回微分可能ならば