関数f(x)=√xが一様連続であることの証明
一様連続の定義
関数f(x)は区間Iで定義されている関数とする。任意のε>0に対して次の条件をみたすδ>0が存在するとき、f(x)はIで一様連続という。
関数の一様連続に関して、次の重要な定理に次のものがある。
定理
関数f(x)が有界閉区間Iで連続ならば、f(x)はIで一様連続である。
上の定理ではIが有界な閉区間であることが重要。
例
x₁、x₂∈(0,1]であるx₁、x₂を
にとると、
となり、nをどんなに小さくしても、これは１より小さくならないので、一様連続ではない。
I=[1,∞)にすると、
そこで、任意のε>0に対して、δ=εにδ>0をとると、
したがって、f(x)=1/xは区間[1,∞)で一様連続になる。
上の例のように、区間Iが有界な閉区間でなくても、Iで一様連続である関数は存在する。
問１ 次の関数が一様連続であることを示せ。
【解】
平均値の定理より
となるcがx₁とx₂の間に存在する。
（１）より
任意のε>0に対して、δをδ=εにとると、
よって、一様連続である。
（解答終）
【別解】
よって、任意のε>0にたいしてδ=εとすれば、
（別解終）
問２
【解】
x₁、x₂∈(1,∞)とする。
平均値の定理より
となるcがx₁とx₂の間に存在する。したがって、c>1。
よって、
そこで、任意のε>0に対して、δをδ=2εにとると、
したがって、√xは区間(1,∞)で一様連続である。
（解答終）
問３ 平均値の定理を使わず、有理化を行うことで、問２を証明せよ。
問４
【解】
f(x)=√xは有界閉区間[0,1]で連続。したがって、定理よりf(x)=√xは[0,1]で一様連続である。
（解答終）
問２、問４より、
問４は、技を使わないと、ちょっと証明しづらいので、定理を使って証明した。
そして、その技を使うと、ダイレクトに
【証明】
a≧0、ε>0に対して
である。
x₁、x₂∈[0,∞)とする。
任意のε>0に対してδ=ε²とおくと
x₁≧x₂のとき
だから、
x₁<x₂のとき同様に
①と②より
したがって、任意のε>0に対して、δ=ε²とすると、
よって、f(x)=√xは[0,∞)で一様連続である。
（証明終）
なお、⑨は、⑨式の両辺が非負であるので、２乗しても大小が変わらないので、右辺²と左辺²の差をとると
であることから簡単に証明できる。