追加問題の答えだケロ！！


 


追加問題　次の問に答えよ。


　　


（１）　f(x)がx=0で微分可能であることを示し、x=0におけるf(x)の微分係数f'(0)を求めよ。


（２）　f(x)の導関数f'(x)がx=0で連続であることを示せ。


（３）　x=0でf(x)は２回微分可能か？


（４）　f(0)はf(x)の極値か否かを判定せよ。


 


ちなみに、


　　


 


【解】


（１）　h≠0とすると、


　　


 


（２）　x≠0では


　　


よって、x≠0のとき


　　


ここで、


　　


だから、


　　


となり、f'(x)はx=0で連続である。


 


（３）　h≠0のとき


　　


したがって、f(x)はx=0で２回微分可能である。


 


（４）　f(0)は極値ではない。


任意のr>0に対して


　　


が成立するように自然数nをとると、点x=0の近傍(–r,r)内に


　　


という点がある。


したがって、r>0をどんなに小さくしても、(–r,r)で


　　


が成立するので、f(0)は極値ではない。


（解答終）


 


宿題　次の曲線の概形を書け。


　　


【解】


【解】


　　


よって、y²=x²(x–3)をyについて解くと


　　


となり、曲線y²=x²(x–3)は


　　


と、y₁、y₂の２つの曲線に分解することができる。


　　


y₁の凸凹表を書くと


 






x




0




3




・・・




4




…






y




0




0




 




4




 






y''




 




 




−




0




＋






凸凹




 




 




凹




変曲点




凸






 


y₂はy₁をx軸に関して対称だから曲線y²=x²(x–3)のグラフは以下のようになる。




（解答終了）


 


曲線y²=x²(x–3)には、その近傍に曲線上の点が存在しない点(0,0)が存在する。この(0,0)のように、その近傍に曲線上の点が存在しない点を孤立点と呼ぶ。


 


参考までに、y²=x³のグラフを以下に示す。


曲線y²=x³上の点(0,0)は尖点という。




 


以上のことから、曲線


　　


は、a>0のとき曲線上の点(0,0)は接線が２本引ける結節点になり、a=0のとき尖点、a<0のとき孤立点になる。