第２１回 ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理とコーシーの収束条件

第２１回　ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理とコーシーの収束条件

 

定理９

有界な数列は収束する部分列をもつ。

【証明】

有界だから

　　

を満たす正の実数Kが存在する。

つまり、

　　

閉区間[ –K, K] を二等分して、[–K, 0] と[0, K] という閉区間を作ると、 このどちらかにの無数の項がある。

かりに[0, K] にあるとして、

　　

として、これをまた二等分する。すると[0,K/2] と[K/2, K] になって、このどちらかにの無数の項が存在する。

かりに[K/2, K]に無数の項があるとすると、

　　

として、これをまた二等分する。

こうした操作を繰り返してゆくと、

　　

という閉区間の減少列が得られる。

すると、

　　

になる。

区間縮小法から、これら閉区間すべてに共通に含まれる一つの数αが存在する。

次に、のなかに含まれる数列の項の中で最も番号が若いものを、に含まれる数列の中で最も番号が若いものをといった具合に、この操作をと無限に繰り返す。

すると、

　　

というの部分列が得られて、①と②より、はα に収束する。

（証明終了）

コーシー列

次の条件を満たす数列をコーシー列という。

任意のε > 0 に対して、次の条件を満たすm ∈ N が存在する。

　　

収束する数列がコーシー列である。

何故ならば、とすると、

　　

だからである。

 

定理１０　（コーシーの収束条件）

数列が収束するための必要十分な条件は、数列がコーシー列であることである。

【証明】

収束する数列がコーシー列になることは先に証明した。

したがって、がコーシー列であるならば、が収束することを示せばよい。

条件より

任意のε > 0 に対して、次の条件を満たすm ∈ N が存在する。

　　

q=m+1 に固定し、p>m とすると

　　

よって、p> m で、数列は有界。 これにm以下の項を加えても、 はやはり有界。

ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理より、の部分列でα に収束するものがあるのだから、任意の正の数ε に対し適当なm₁を定めると 、k>m₁で

　　

となkが無数に存在する。

また、条件から

　　

となり、m'=max{m,m₁}とすると、k>m' で

　　

をみたす k が無数に存在し、そのkに対して

　　

したがって、n>m'のすべてのn について

　　

となり、

　　

である。

（証明終了）