関数の定義域の一点で微分可能であるが、それ以外の定義域の点すべてで不連続な関数の一例。
このとき、f(x)は、x=0で微分可能で連続であるが、それ以外の点すべてで連続でない。
x=0で微分可能であることは、例えば、次のように証明されるだろう。
x≠0とする。
xが有理数のとき
xが無理数のとき
いずれにせよ、
よって、
x=0でf(x)は微分可能なのだから、f(x)はx=0で連続である。
ε-δ論法がよければ、（１）のところを次のようにすればいいだろう。
任意の正数ε>0に対してδ=ε>0にとれば、
x=0以外で連続でないことを証明するのは、例えば、次のようにすればいいだろう。
a≠0とする。
とすると、どんなδ>0をとっても
であるxが存在する（下図参照）。
何故ならば、δ>0をどんなに小さくしても、aが有理数、xが無理数のとき、
であり、aが無理数、xが有理数のとき
となり、（２）を成立させるxが｜x–a ｜<δに存在するからである。
よって、a=0以外の全ての点でf(x)は連続ではなく、微分不可能である。
（※）
「関数f(x)が点aで連続である」のより正確な定義は、
したがって、点aで連続でないは、（２）を否定した
である。