第１４回　漸化式で表された数列の極限　連立漸化式


問題１　数列はx₁=1、y₁=5をもとにして

　　

にしたがって作られている。このとき、およびを求めよ。

【解】

①から

　　

よって、

　　

③、④を②に代入すると、
　　

ここで,t²−4t+3=0として、この２次方程式を解くと、

　　

したがって、⑤は次のように変形できる。
　　

⑥よりは初項x₂−x₁、公比3の等比数列。

したがって、

　　

⑦より、数列は一定だから――初項x₂−3x₁、公比1の数列と考えてもよい――

　　

x₁=1、y₁=5だから、①より

　　

よって、⑧、⑨から
　　

⑩−⑪

　　

③より

　　

【解答終了】

上のように隣接３項の漸化式に変形して解くことができるけれど、実はうまい方法がある。


【別解】

①+②

　　

①−②

　　

③より、数列は、初項x₁+y₁、公比3の等比数列だから

　　

④より

　　

⑤＋⑥
　　

⑤−⑥

　　

【別解終了】


どちらが楽かは言うまでもないだろう。


この他に、

　　

として行列を利用して解く方法もありますが・・・。

 


問題２

　　

に対して次の問いに答えよ。

（１）　をnの式であらわせ。

（２）　を求めよ。

【解】

（１）

　　

①＋②

　　

①−②

　　

③より

　　

④より数列は初項x₁−y₁=1、公比1/3の等比数列。

　　

⑤＋⑥
　　

⑤−⑥

　　

（２）

　　

（解答終了）


問題３　が次の条件を満たすとき、を求めよ。

　　

【解】

　　

　　

より、

　　

よって、
　　

①より、

　　

②より

　　

④−③

　　

で、

　　

よって、

　　

（解答終了）

【別解】

　　

①−②

　　

①−２×②

　　

③、④より

　　

よって、

　　

（解答終了）