問題 曲線(Cycloid・サイクロイド)
(1)x軸と曲線で囲まれた部分の面積を求めよ。
(2)x軸を中心にして曲線を回転させて作られる回転体の体積と側面積を求めよ。(3)曲線の長さを求めよ。
を求めよ。【解】
a=1の時のサイクロイドは次の通り。
(2)体積Vは
ネムネコは、ここで、こう宣言しよう、
何故ならば、
だし、t=sinθとおくと
となるからだにゃ。
となり、
試験の答案として出すときには、きちんと計算しなければならないけれど、
側面積Sは
で与えられる。
から、
ここで、半角公式なるものを使う。
0≦θ≦2πでsin(θ/2)≧0だから、
となるので、
そして、
さらに、t=cosθとおき、
となるので、
よって、
(3)曲線の長さLは