第１３回　３重積分


２重積分と同じように、３重積分、そして、n重積分を定義することができる。基本的に同じなので、３重積分をその代表としてやりますにゃ。


閉区間で有界な関数f(x,y,z)に対して、Kの分割を細かくしたリーマン和が一定の値に収束するとき、f(x,y,z)は積分可能であるといい、その極限を
　　

とあらわす。

そして、定数関数１が有界な集合上で積分可能であるとき、体積確定といい、

　　

をΩの体積という。

そして、３重積分を計算するときには累次化して積分する。

定理

f(x,y,z)がで連続であれば、

　　


なお、

　　

のことなので注意してください。

上の定理は積分領域が直方体の場合で、より一般のΩの場合は次のようになる。

f(x,y,z)がの積分領域Ωで連続とする。ｘｙ平面上の積分領域DとD上の連続関数により、Ωが縦線集合

　　

としてあらわせるとき、

　　

さらに積分領域DがD上で連続な関数によって

　　

とあらわされるとき、

　　

となる。
こういうふうに累次化して積分する。


何を書いてあるかわからないと思うので、問題を解いて実例を示すにゃ。


問題１

　　

【解】

　　

なのだけれど、これは次のように計算してよい。

　　

上の右辺はただの積分の掛け算なので、累次積分と区別するために、「・」を付けたにゃ。


２重積分でも計算量が多いのに、３重積分はさらに計算量が多くなるので、大嫌いだにゃ。


問題２

　　

【解】

Ωは次のように縦線集合に書き換えることができる。

　　

積分領域Dは

　　

よって、
　　


３重積分は、こんな簡単なものでも、とにかく計算が大変です。