工学野郎の思う微分_2
起動しなくなった旧PCより外付け装置に移植したHDですが、「フォーマットされていません」が出やがったので、データ復旧店に持ち込みました。全てではなかったけれど、概ねデータは救出できました。
・・・という訳で、ほぼ復旧記念です(^^)。
２．概念としての微分
工学野郎の思う微分_1の1.で、「概念上の話としては、微分可能な関数の一点には、理想化すればその接線が住んでると認めるのと同じです」と書きました。では、微分可能な関数の一点にその接線が住んでるというような、証拠はあるんでしょうか？。あるんですよ、それが。もちろん状況証拠ですけどね(^^;)。以後の喋りは、たぶんにイメージ優先という事になります。
関数の一点に接線がいる事を見るには、いったいどうしたら良いでしょう？。単純に考えれば、一点の内部を覗けば良いわけです。だけど点は大きさを持ちません（無限に小さい）。大きさを持たなければ内部構造もないはずだから、そもそも一点の内部なんてのは概念矛盾だと、プロゲラさんに怒られそうですが、でも［大きさを持たない］＝［無限に小さい］が正しいなら（← 正しいという保証はない(^^;)）、無限に拡大すりゃぁ～内部を覗けれんじゃねっ？、って発想になります。
そうすると拡大対象は関数なので、関数の拡大と縮小をまず復習しておきましょう。関数、
があった時、kを任意の実数として関数、
は、原点を中心に(1)を1/k倍に拡大した関数でした。どうしてかというと、
という変換を考えてみると、(3)を(2)に代入し、
が得られて、(4)は(1)と同じ曲線を描きます。しかし(X，Y)の中身は(kx'，ky')なので、(4)が(1)と同じ曲線を描くためには、(x，y)＝(kx'，ky')でなければならない事になり、(x'，y')の数値は、
と(x，y)の1/k倍になるためです。
高校では(x'，y')と(x，y)をごっちゃにして扱う傾向があるために、高校生は(2)を見て非常に悩むんですよね(^^;)。
変換、
は等方的でもあります。それを確認するには、円で試せば十分です。円の方程式、
に変換(6)を施せば、
なので、(6)が原点から(x，y)までの距離を等方的に1/k倍にしてるのは明らかですし、原点は移動しないので、原点を中心とした拡大／縮小である事もわかります。等方性は、今の場合の関数の一点の拡大に望まれる性質です。
不便なのは原点中心でしか拡大／縮小できない事ですが、それなら拡大したい関数の一点を原点に移動させればＯＫです。このとき関数のグラフの形を変えてはいけないので、平行移動という話になります。
が、(1)をx方向にa，y方向にbだけ平行移動した関数を表すのでした。ここでも変換、
を考えれば、(x，y)→(x＋a，y＋b)である事は明らかです。
以後、高校方式で、(x，y)と(x'，y')を明確に区別するのはやめます。
やりたい事は、関数の一点(x0，f(x0))が原点に来るように関数を平行移動し、そこで1/h倍（0＜h＜1）に拡大する事です。
最初に、(x0，f(x0))が原点に来るように関数を平行移動します。これは(a，b)＝(－x0，－f(x0))の平行移動です。
次に(9)を原点中心で1/h倍に拡大します。
無限に拡大するには、h→0の極限をとれば良いわけですが、そのために(10)を少々変形します。
h≠0とすると、
(11)の最後の形でh→0の極限をとります。
最後の結果を出すために、（普通の(^^)）微分の定義を使ってます。すなわち、
です。(12)は、(x0，f(x0))が原点に来るように平行移動した結果です。もとの位置に戻しましょう。それには、(a，b)＝(x0，f(x0))なる平行移動をすれば良いので、
です。・・・うふふ、(x0，f(x0))における接線の方程式じゃ～ないですかぁ～(^^)。接線はいたんですよ。
ここで、微分を使わずに接線を定義するにはどうするかという（不要に？）頭の痛い問題が生じますが、それは無視します(^^;)。
次に、不要ではない哲学的批判に対処します。恐らく、ネムネコファミリーの中でこの批判を出すとしたら、プロゲラさんです(^^)。批判とは、
「点とは大きさを持たないこと。それが点の数学的定義だ」
「したがって、点は内部構造を持たない」
「よって内部構造を持たない点内部に、接線は存在できない」
「(12)で行った極限計算はその経過から明らかなように、点外部の拡大を行ったに過ぎず、点内部を覗いたとは、まったく言えない」
「これは点の数学的定義から最初から明らかで、点内部にその接線がいるという考えは、概念としてまさしく概念矛盾を起こしている。(12)～(14)は、概念的に無意味な数学的トリックに過ぎない」
はっきり言って論理的に完璧な批判です。反論は恐らく無理です(^^;)。ただ数学は、(12)～(14)を無意味な数学的トリックとは考えません。概念矛盾であると知りつつ、というか知ってるからこそ（本当によぉ～く考えた人たちは）、次のように身をかわします。
「現実の分析に便利なように、VR（バーチャルリィアリティー）なツールを作っただけなんですよね」
・・・と(^^;)。
(14)は(12)の洗礼の後に出てきたものなので、(14)の(x－x0)はいくら大きくとも無限倍拡大の縮尺で考えると、実スケールでは0です。だからそれは、VRな点内部の距離と考えてもいいじゃないかと（大きさを持たないことが点の数学的定義）。つまり微分可能な曲線は、各点ごとの接線の集合だと考えられる。
曲線の各点ごとの接線を近似するものはなんでしょう？。十分細かい区間分割で考えられた、曲線の折れ線近似ですよ。
よって、関数の一点の内部に接線がいるとVRとして認める事は、曲線は区分的な一次関数の集まりだと認めるのと同じです。これはさっき言ったように、哲学的な概念分析としては非常に危ういのかも知れませんが、認めてみると非常に役に立ちました。
したがって微分とは、一点における（局所的な）関数の一次関数化（線形化）、すなわち関数の局所線形化という人間の意志の産物なのです。
（執筆：ddt³さん）