ネムネコ、リープ・フロッグ（蛙飛び）法で単振動を計算する
物理で最も基本的な運動の一つに単振動（一次元調和振動子）というものがある。
ニュートンの運動方程式は
ここで、mは（質点の）質量、ωは角振動数（角速度）であり、xは（質点の重心の）位置、tは時刻である。
m>0なのだから、この方程式は
としてもいいよね。
さて、
とおくと、（２）式は次のようになる。
したがって、２階微分方程式（２）と次の１階の連立微分方程式は同じもの。
微分の合成公式から
になるので、（６）式は
これは何かといえば、（力学的）エネルギー保存則を表しているにゃ。
（２）式をさらに一般化し、
とすると、（７）は次の連立微分方程式になる。
そして、今回紹介するリープ・フロッグ（蛙飛び）法は、
という初期値問題を
という漸化式に書き換え、（１０）、（１１）から求まる
（１０）に関しては、テーラー展開
から直ちに出るし、
となり、これを積分すると、
この右辺の積分を台形公式で近似すれば
となるので、
になる。
したがって、（１０）、（１１）の（離散化）誤差はO((Δt)³)で、修正オイラー法、２次のルンゲ・クッタ法と同程度ということになる。
通常、これとは違った導出をするのですが、同じ結果が得られるので、構いやしないや(^^ゞ。
Δt=0.1として、t=20までの２００ステップを、このリープ・フロッグ法、蛙飛び法を用いて、
を解いてみたにゃ。
こちらがその結果。
特に見て欲しいのが、横軸にx、縦軸に速度vをとった位相図。
厳密解は、
だから、
になるのですが、リープ・フロッグ法で解いた真円と見間違うほど綺麗な円を描く。
これに対して、リープ・フロッグ法と同程度の離散誤差をもつ２次のルンゲクッタ法を用いてこの問題を解いた場合、時間の経過とともに、誤差の伝播のためにエネルギーが増加し、軌道がx²+v²=1から徐々に徐々に離れていく。
スゴイにゃ、リープ・フロッグ法。