第３回 ラプラス変換の基本的性質２
定理（微分法則）
区間[0,∞)上のC¹級関数f(t)が、ある２つの定数α、M>0に対して
を満たすとき、s>αに対して
が成り立つ。
【証明】
R>0とすれば
R→∞とすれば、s>αより
だから、
（証明終）
これを繰り返せば、２次導関数に関して
が成り立つ。
同様に、n次導関数
が得られる。
定理（積分法則）
f(t)が連続で指数位数の関数ならば
【証明】
また、f(t)は指数位数の関数だから
したがって、g(t)も指数位数の関数。
微分に関する定理を用いると、
（証明終）
定理
f(t)を連続で指数位数aの関数とする。
【証明】
f(t)は指数位数の関数だからtf(t)も指数位数の関数となり、
また、f(t)は連続なので積分と微分の順序交換が可能。
よって、
（証明終）
上の定理を繰り返すことによって、次の関係を得ることができる。
例 f(t)=1とすると、
である。
上の定理を使うと、
を得ることができる。
したがって、
問
【解】
だから
（解答終）
定理 f(t)が周期Tの区分的な連続関数ならば
【証明】
ここで、
とおくと、
f(t)は周期Tをもつ関数だから、すべてのnについて
が成立する。
よって、
（証明終）