第15回 数列と確率
確率と数列の極限の問題を幾つか紹介し、それを解くことにする。
問題1 1つのさいころを振って1が出れば甲の価値、6が出れば乙の勝ちとして、さいころを振ることを止め、1と6以外の他の目が出たら、繰り返して降るものとする。
(1) さいころを振る回数をn回までとしたとき、甲の勝つ確率を求めよ。(2) 回数を制限しないとき、甲の勝つ確率を求めよ。
【解】(1)
したがって、甲が1〜n回で勝つ確率
(2)
(解答終了)
甲がk回目で勝つ場合は、k−1回連続で2〜5の目が出て、k回目に1が出る場合。
2〜5の目が出る確率は
問題2 ある人が射的をする。一度命中した次に引き続き命中する確率は0.8であり、外れた次に引き続き外れる確率は0.4であるという。第n回目が命中であったときの確率を
(1)
(2)
(1) 命中した次に命中する確率は0.8
外した後に命中する確率は1−0.4=0.6n−1回目が命中の確率
n−1回目がはずれである確率
したがって、n回目が命中である確率
したがって、数列
(2)
問題3 A、B2人が、A、Bの順で交互にさいころを振り、最初に1の目が出た人を勝ちとする。A、Bの勝つ勝率を求めよ。
【解】p=1/6とすると、Aが勝つパターンは下の表のようになる。
よって、Aが勝つ確率P
したがって、Bの勝率は
つまり、このゲームは先攻の方が有利ということになるのであった。