第１２回 漸化式で表された数列の極限３ 隣接する２項の場合２

第１２回　漸化式で表された数列の極限３　隣接する２項の場合２

問題１　を満たす数列がある。

（１）　とおくとき、ととの関係式を求めよ。

（２）　0<x₁<1のとき、を求めよ。

【解】

（１）

　　

だから、

これを①に代入すると、

　　

（２）　0<x₁<1より、0<y₁<1、また。

②の両辺の対数をとると、

　　

したがって、数列は初項logy₁、公比2の等比数列。

よって、
　　

（解答終了）

（※）　とおくと、

　　

で、0<y₁<1だから

　　

問題２　aは1<a<2を満たす定数とする。

　　

によって定められた数列について、次の問いに答えよ。

（１）　を証明せよ。

（２）　を証明せよ。

（３）　を求めよ。

【解】

（１）　n=1のとき

　　

1<a<2だから、

　　

また、
　　

よって、

　　

n=kのとき

　　

と仮定する。

n=k+1のとき

　　

だから、

　　

また、

　　

よって、数学的帰納法により、

　　

である。

（２）　

よって、

　　

（３）

　　

ここで、

　　

よって、

　　

したがって、

　　

（解答終了）

問題３　次の数列について、下の問（１），（２）に答えよ。

　　

（１）　この数列の項はすべて正で、単調に減少する。これを数学的帰納法をもちいて証明せよ。

（２）　この数列が収束することはわかっていて、その極限値を求めよ。

【解】

（１）　n=1のとき

　　

n=kのとき、

n=k+1のとき

　　

また、

　　

（２）

　　

また、

　　

よって、極限値α=1
（解答終了）