第9回 無限級数6 無限級数の図形への応用
問題1 右図のように直角三角形ABCの中に正方形S₁、S₂、S₃、・・・が限りなくならんでいるとき、これらの正方形の面積S₁、S₂、S₃、・・・の総和を求めよ。ただし、BC=a、∠A=60°、∠B=90°とする。
正方形S₁、S₂、S₃、・・・の1辺の長さをx₁、x₂、x₃、・・・とし、AB=cとする。
△ABC∽△ARQだから
問題2 2等辺三角形ABCの3辺に内接する円Oの半径をrとする。等辺AB、ACと円Oとに内接する円をO₁とし、AB、ACとO₁とに接する円をO₂とする。このようにして次々と円を作っていくとき、これらすべての円の面積の和を求めよ。ただし∠A=2αとする。
【解】また、
よって、
問題3 放物線y=x²をCとする。C上の点A₁(a,b)(a>0)における接線とx軸との交点をP₁とし、P₁を通ってx軸に垂直な直線とCとの交点をA₂、点A₂におけるCの垂線とx軸との交点をP₂とする。以下、同じようにして、C上に
(1)
(2) 図形
したがって、
(2) 図形
よって、