第8回 無限級数5
問題1
数列
この定理は使っていいものとして、次の問いに答えよ。
(1) rは一定の数で、0<r<1とする。すべてのnに対して
は収束することを示せ。
(2) n²>n(n−1)であることをつかって、次の級数が収束することを示せ。
(1)
よって、
また、0<r<1だから
(2) n²>n(n−1)だから、n≧2に対して
問題2 級数
また、級数
とおく。
数列
となり、
【解】
①から、
問題1の
数列
という定理を使っていいのならば、次のように証明することもできる。
すべての正の整数kについてk²(k+1)>k²だからまた、
なお、問題1の(2)は積分を使うと、次のように証明できる。
k≧2とする。x∈[k−1,k]のとき
よって、
この両辺に1を加えると、
問題3 次の条件を満たす数列
【解】
(1)
(2)
よって、