包絡線

包絡線

αをパラメータとして含む曲線群

　　

の各曲線と１点だけで接する曲線を包絡線という。

f(x,y,α)をC¹級とする。

曲線群と包絡線の接点を(x,y)とすると、xとyはαの関数である。

これを

　　

とする。

（１）と（２）は接するのだから、

　　

また、φ(α)、ψ(α)はf(x,y,α)=0上の点だから

　　

これをαで微分すると、
　　

ゆえに、包絡線は

　　

の交点である。

逆に（４）の２つの方程式から

　　

であるαの関数が存在するとする。

（４）より

　　

（５）をαで微分すると、

　　

（６）よりだから

　　

したがって、でないならば接する。

少し補足説明する。

例えば、

　　

という曲線（群）があるとする。

αの値を一つに固定すると、たとえば、α=1とすると、①は中心(1,0)、半径1の円になる。

次にα=1/2とすると、中心(1/2,0)、半径1/2の円になる。

このようにαを変化させれば、中心(α,0)、半径｜α｜の曲線群を得ることができる。

図から明らかなように、この曲線群は、αの値にかかわらず、y軸、つまり、x=0に接する。

つまり、x=0が①の包絡線ということになる。

問題１　次の曲線群の包絡線を求めよ。

【解】
（１）　αで偏微分すると

　　

で、

　　

よって、包絡線は放物線y²=4x

（２）

　　

①をαで偏微分すると、

　　

①と②を２乗して足すと

　　

よって、包絡線は原点を中心とする半径pの円。

（３）

　　

をαで偏微分すると、

　　

したがって、

　　

x=−1は包絡線。

x=0は特異点の軌跡。

（解答終了）

　　

とすると、
　　

したがって、x=0、y=αは特異点。

また、

　　

よって、(x,y)=(0,α)において

　　

(0,α)は結節点で接線は２本引ける。

 

問題２　次の包絡線を求めよ。

（１）　円x²+y²=r²のy軸に平行な弦を直径とする円の曲線群

（２）　座標軸で切り取られる部分の長さが一定である曲線群

【解】

（１）　弦の両端をA、B、その中点をCとし、C(α,0)とする。

三角ACOは直角三角形だから、ABを弦とする円の半径ACは
　　

よって、円の方程式は

　　

αで偏微分すると、

　　

これを①に代入すると、

　　

（２）　直線の方程式を

　　

とすると、条件より

　　

①をαで偏微分すると、
　　

②をαで微分すると

　　

③に代入すると、

　　

とおくと、

　　

これを①に代入すると、

　　

②に代入すると、

　　

④を②乗したものと⑤の辺々を掛けると、
　　

よって、アステロイドになる。

（解答終了）