重積分の問題演習２

重積分の問題演習２

数学の記事を何も書かないのはよくない。
ということで、つなぎ記事を上げることにした。

問題　次のことを示すケロ。
（１）f(x,y)が[0,1]で級であるならば、

 　　

（２）fが連続な偶関数ならば

　　

【解】

（１）は、だから、極座標x=rcosθ、y=rsinθで積分してくださいと言っているようなもの。

で、極座標によって積分領域はから[0,1]×[0,2π]に変わるので、

　　

となる。

（２）これは、x–y=u、x+y=vとおくにゃ、そして、xとｙについて解くと、

　　

だから、[0,1]×[0,1]という領域は

　　

となる。
この(u,v)の領域を図示すると次のようになる。

また、

　　

だから、ヤコビアンJは

　　

となる。

　　

とすると、

　　

よって、

　　

（２）の変換も、数学のいろいろなところで出てくる変換なので、覚えておくと便利かもしれない。

ひとこと付け加えると、
こういう領域は必ず図示して考えるように。
面倒臭がってこの作業を怠ると、とんでもない計算をすることになるかもしれない。
「百聞は一見に如かず」です。