第15回 3重積分の応用・体積
高校の数学で、立体Ωの体積Vは、zにおけるΩの断面積をS(z)とすると、
立体Ωが
で与えられるとすると、
ということで、次の定理がえられる。
定理
関数f(x,y)、g(x,y)が積分領域Dで連続で、f(x,y)≦g(x,y)であるとする。このとき、D上のz軸方向の柱体z=f(x,y)、z=g(x,y)が囲むΩの体積Vは次で与えられる。
立体Ωは
縦線集合とあらわせるので、体積Vは3重積分を累次化すると
となる。
問題1 放物面
【解】
グラフにするとこんな感じになる。
分かりづらいと思うけれど、求める立体Ωは
だにゃ。
x=0、y=0を入れると、曲面の上下関係がわかると思う。
で、Dは
なので、
となるのだけれど、こんな計算はしたくない。
そこで、
となるので、少し工夫し、x=√2rcosθ、y=rsinθと置くと、Dは
になる。
この時のヤコビアンJは
から、J=√2rとなり、よって
問題2 2平面、z=0とz=2–yと円柱面
【解】
立体Ωは
となる。
で、
となり、これをお決まりの極座標で変換すると、積分領域は
となるので、