［面倒な事はしたくない］
の計算にあたり、f(1)の値が発散しない事だけはとりあえず確認したいですよね？(^^)。そこで概ねのあたりとして、
において、
とすると、t＝1の（左側）近傍、t＝1－Δtでは、
なので、積分幅もΔtとすると、
となり、
と予想できます。すなわち(2)は、t＝1の近傍で可積です(^^)。
(1)に台形公式（修正オイラー法）を使います。積分区間幅は[0，1]で1。台形公式の場合は経験上、連続関数に対しては、積分区間幅の1/100くらいの分割幅をとれば十分です。Δt＝0.01。
(1)はt＝1で発散するので、Δt＝0.01に対して台形公式の増分が、
となるように、tの値に応じてΔtの値を調整して行きます。すなわちΔt＝0.01は、t＝0におけるΔtの初期値で、積分値の精度は0.01オーダー。
(3)左辺の1項目を、
と線形近似すれば、
となるので、
より、
が得られます。
(4)のtに応じた分割を用い、台形公式およびExcelで(1)計算した結果が以下です。
表で1≦tとなったら、計算終了です。最終結果は、f(1)＝1.308392。ネコ先生のページに載っている目標値は、f(1)＝1.31103。予想通り精度0.01オーダーだけれど、Step数130なので御の字では？(^^)。
ちなみにΔt＝0.001を初期値とすると、Step数1310でf(1)＝1.311042が得られました。目出度しめでたし・・・(^^)。
（執筆：ddt³さん）
（注意）
記事中のグラフは、ddt³さんの本文中にはなく、ネムネコが勝手に挿入したもの。
ネムネコが作成したスプレッドシートは以下のところで公開されています。