錯角、同位角の等しい２直線は平行であることの証明
中学校で習った
定理異なる２直線l、mに直線nが交わってできる１組の錯角をα、βとするとき、
を証明することにする。
なお、記号
いきなりこの定理は証明できないので、この定理の証明に使用する第２外角定理をまず証明する。
△ABCにおいてα>βである。
【証明】
辺ACの中点をDとし、BDの延長上にBD=DEとなる点をとる。
条件より、
AD=DCBD=DE
また、∠ADE=∠CDB（対頂角相等）
したがって、△ADE≡△CDB（二辺挟角）
したがって、β=γ ①
線分AEは線分ACと線分AFの間にあるのでγ<∠CAF=α ②
①と②よりα>β
（証明終）∠CBA=δとおくとき、同様に、α>δも成立する。
だから、上の定理は、「外角はその内対角よりも大きい」と言い換えることができる。
定理A
異なる２直線l、mに直線nが交わってできる１組の錯角をα、βとするとき、
上の定理の証明には背理法を使う。
【証明】
直線lと直線mは平行でないから、直線lと直線mは交わる（平行の定義）。
この交点をCとする。△ABCを考えると、第２外角定理よりα>βとなりα=βという仮定と反する。
よって、
（証明終）
そして、上の定理と対頂角相等から次の系が直ちに証明される。
系
異なる２直線l、mに直線nが交わってできる１組の同位角をα、γとするとき、
【略証】
対頂角相等よりγ=β
よって、α=β。したがって
ここまでは、有名な平行線の公理、すなわち、
平行線の公理
直線外の１点を通り、その直線に平行な直線は１つであって、ただ１つに限る。を必要としていないし、使用していない。
つまり、
直線外の１点を通り、その直線に平行な直線が２本引けようが、３本引けようが、もっと多く引けようが、上の定理とその系は成り立つはずなんだにゃ。ただし、上の定理とその系の逆、つまり、
定理
平行な２直線l、mが他の直線nに交わるとき、１組の錯角（または同位角）は等しい。の証明には平行線公理が必要になる。
定理B
平行な２直線l、mが他の直線nに交わるとき、１組の錯角（または同位角）は等しい。直線lと直線mが平行で錯角α≠βとする。
α>βであるとする。
∠XAB=αの内部に∠YAB=βとなる角をとり、点A、Yを結ぶ直線l’を引く。∠YAB=βだから、定理Aより直線l'は直線mと平行である。
しかし、平行線の公理より、点Aを通り直線mに平行な直線は１つであるのに、直線lと直線l’の２本あることになり平行線の公理に反する。
α<βの時も同様。したがって、α=βである。
（証明終）直線lと直線mは平行に見えないかもしれないが(^^ゞ