ベクトル 内積の不等式への応用
成分で表される2つの平面ベクトル
になる。
空間ベクトルの場合、つまり、
では、問題。
問題1 ベクトルの内積を利用して、次の不等式を証明せよ。
【証明】
等号が成立するのはcos²=1、または、
cos²θ=1になるのはθ=0またはθ=180°のときで、これは
(証明終わり)
また、
は一般に成り立つので、
これを使って、次の問題を解くことにする。
問題2 x、y、zが負でない実数でx+2y+3y=1のとき
【解】
こうした解法がいいかどうかは別にして、こういうふうに解くことができる。
次の問題は有名問題なので、やらないわけにはいかない。
問題3 零ベクトルでない2つのベクトル
(1) tの値を求めよ。
(2)
(1)
よって、
(2)
よって、
原点Oからこの直線におろした垂線の足をHとすると、(2)では、直線と原点との距離が最小のとき、OHと直線が直交しているということを表している。