問題３（積分の第１平均値の定理）
fが閉区間[a,b]で連続、gが[a,b]で非負連続ならば、
を満たすξが存在することを示せ。
【証明】
したがって、a<ξ<bである任意のξに対して（１）が成立する。
次に、gが[a,b]で恒等的にg(x)=0でないとする。
fは閉区間[a,b]で連続なので、最小値mと最大値Mをもつ。
条件g≧0より、
だから、
が成立する。
fが定数関数でないとき、
したがって、中間値の定理より
を満足するξが存在する。
fが定数関数であるとき、（１）が成立するのは明らか。
（解答終）
追加問題
関数f(x)が有界閉区間[a,b]で連続であれば、
が存在することを示せ。
【解答】
f(x)が定数関数のとき（２）が成り立つことは明らか。
そこで、f(x)は定数関数でないとする。
f(x)は[a,b]で連続なので、f(x)は[a,b]で最小値mと最大値Mをもつ。
したがって、
f(x)は定数関数でないので、
辺々をb−a>0で割ると、
したがって、中間値の定理より、
を満たすξが存在する。
（解答終）
本によっては、（１）ではなく、（２）を積分の平均値の定理と書いてあるので注意。