ガラーキン法


 


微分方程式



境界条件を



とする。


ここで、Vは微分方程式が定義されている領域で、Sは境界面とする。


（１）の解u(x)が独立な試行関数（基底関数）を用いて



と近似できるとする。


このとき、



を残差といい、R=0のときは解uと一致する。


（３）に重みを掛け、



となるようを定める方法が有限要素法の重み付き残差法である。


 


この重みにディラックのδ関数



を用いるものが選点法である。


 


この重みに試行関数、すなわち、



とする方法がガラーキン法である。


 


例によって、微分方程式



を、がラーキン法を用いて解くことにする。


 


この微分方程式の近似解を



とすると、試行関数は



となり、残差は



となる。


したがって、



また、



したがって、


 


よって、



になる。


 


ガラーキン法による計算結果は次の通り。比較のために、選点法による計算結果も示してある。




 


厳密解との差は殆ど無いので、グラフでは厳密解とほとんど重なってしまう。


 


この他に最小２乗法、モーメント法などがあるけれど、あくまで一般論ですが、有限要素法の中ではガラーキン法がもっとも精度がよいといわれている。


 


なぜ、がラーキン法の精度が良いのか、そして、ガラーキン法と変分法との関係について、ddt³さんが説明してくれるに違いない(^^)