２階常微分方程式の境界値問題を選点法で解く２
問題 次の微分方程式を解け。
【答】
前回、この微分方程式の解を
と近似し、残差
をとし、重み関数wにディラックのデルタ関数
をとり、
となるように
という近似解を得た。
しかし、こうして得た近似解の誤差が大きかったので、より精度のよい近似解を求める方法を考える。
そこで、（１）式を
とおくと、
となる。
このとき、
となるので、残差は
となる。
未知数がa₁、a₂の２つなので、これを定めるために選点をx=1/4とx=1/2に選び、その位置での残差を0とすると、
（１０）と（１１）から
という連立方程式が得られ、これを解くと、
となり、
という近似解が得られる。
（１２）は（６）よりも厳密解（１）からの乖離が小さくなり、（１）の挙動をよく捉えていることが分かる。
（９）式の
とおくと、
と表すことができる。このψ₁、ψ₂を試行関数（Trial Function）と呼ぶ。
さらに、
とおくと、微分方程式は
と書くことができ、残差は
で表すことができる。
より一般に書くと、
これに重み関数
となるように、この連立方程式（１５）から、未知数
この重み関数のディラックのデルタ関数
を用いるものを選点法といい、デルタ関数の性質から
になる。
n=2のとき、未知数はa₁、a₂の２つだから、点をx₁、x₂の２点を選び、連立方程式
を解くことによって、a₁、a₂を定めることができる。
これが計算の仕組みというわけ。