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お前らに質問(10月20日 微分積分)の解答例 [お前らに質問]

お前らに質問(10月20日 微分積分)の解答例

 

 

問題 次の問に答えよ。

(1) 次の関数f(x)が減少関数であることを示せ。

  

 

(2) 次の不等式を示せ。

  

【解】

(1)

  

0<x<π/2x<tan xだから、'(x)<-0

よって、f(x)は減少関数。

 

(2) (1)より、0<x<π/2とすると、f(0)>f(x)>f(π/2)

したがって、

  

は減少関数でだから、

    

(解答終)

 

追加問題

  

としたとき、f(x)x=0で微分可能か?

 

せっかく、積分と不等式をやっているので、積分を使って解きますか。

 

【解答例】

0<x0<sin x < xだから、

  

したがって、

  

f(x)x>0で減少関数だから、

h>0とすると、①より、

  10-20-002.png

したがって、ハサミ打ちの定理より、h→0+0のとき、

  

f(x)x=0に関して対称なので、

  

よって、

  

となり、f(x)x=0で微分可能である。

(解答終)

 

f(x)x=0で対称だから」以降が厳密でないという人には・・・。

 

t<0とすると、①より

  

また、f(x)x<0で増加関数だから、h<0とすると、

  10-20-003.png

したがって、ハサミ打ちの定理より、

  

ゆえに、

  

となり、f(x)x=0で微分可能である。

 

 

また、次のような別解を作ることも可能であろう。

 

【別解】

h≠0とする。

x=0のまわりでsin h を3次の項までテーラー展開(マクローリン展開)すると、

  

よって、

  

(別解終)

 

記事の内容に全く関係ないけれど、

 

 

 


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