お前らに質問(10月20日 微分積分)の解答例 [お前らに質問]
お前らに質問(10月20日 微分積分)の解答例
問題 次の問に答えよ。
(1) 次の関数f(x)が減少関数であることを示せ。
(2) 次の不等式を示せ。
【解】
(1)
0<x<π/2でx<tan xだから、'(x)<-0。
よって、f(x)は減少関数。
(2) (1)より、0<x<π/2とすると、f(0)>f(x)>f(π/2)。
したがって、
は減少関数でだから、
(解答終)
追加問題
としたとき、f(x)はx=0で微分可能か?
せっかく、積分と不等式をやっているので、積分を使って解きますか。
【解答例】
0<xで0<sin x < xだから、
したがって、
f(x)はx>0で減少関数だから、
h>0とすると、①より、
したがって、ハサミ打ちの定理より、h→0+0のとき、
f(x)はx=0に関して対称なので、
よって、
となり、f(x)はx=0で微分可能である。
(解答終)
「f(x)はx=0で対称だから」以降が厳密でないという人には・・・。
t<0とすると、①より
また、f(x)はx<0で増加関数だから、h<0とすると、
したがって、ハサミ打ちの定理より、
ゆえに、
となり、f(x)はx=0で微分可能である。
また、次のような別解を作ることも可能であろう。
【別解】
h≠0とする。
点x=0のまわりでsin h を3次の項までテーラー展開(マクローリン展開)すると、
よって、
(別解終)
記事の内容に全く関係ないけれど、
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