ボーアの水素原子モデル

ボーアの水素原子モデル

 

仮説１（ボーアの量子条件）

電子はある安定な軌道の上だけを運動し、この軌道を運動するときには光を放出しない。この安定な軌道を半径aの円軌道とすれば、その角運動量の2π倍はプランク定数hの正の整数倍に等しい。すなわち、

　　

 

仮説２（振動数条件）

上の条件で与えられる１つの安定な軌道（エネルギーE₁）から他の軌道（エネルギーE₂）に電子が移るときだけに、光の吸収、または、放出が起こり、放出または吸収される光の振動数は

　　

から定められる。ただし、E₂>E₁のときは放出、E₂<E₁のときは吸収である。

 

仮説３

電子が安定な軌道にあるときはニュートン力学にしたがう。

 

水素の原子核（陽子）から電子に作用する力は、電子と陽子の電荷をそれぞれ−e、e、さらに、電子の質量をmとすると、

　　

である。

電子は原子核のまわりを半径aの円運動をするので、遠心力と静電引力は釣り合わなければならない。したがって、

　　

が成り立つ。

また、電子のもつエネルギーEは

　　

（３）と（４）からvを消去すると、

　　

また、量子条件（１）と力の釣り合いの式（３）からvを消去すると、

　　

これを（５）に代入すると、

　　

となり、ｎは正の整数だから、電子のもつエネルギーは飛び飛びの値になる。

この値をと書くことにすれば、

　　

になる。そして、この自然数nを量子数という。

 

n>n'とし、電子が量子数nの（定常）状態から量子数n'の（定常）状態に移るとき、（２）式より

　　

となる。

（９）式を波長λで表すと、

　　

となる。ここで、cは光速度である。

　　

とすると、

　　

となり、水素スペクトルのリュードベリの公式が得られる。

のみならず、（１１）式の左辺に電子の質量、電荷、などの物理量を代入し求めた値とリュードベリ定数Rが一致してしまった。

 

従来のニュートン力学や電磁気学の理論によると、水素原子核のまわりを電子が回ると、電子はその回転数に等しい振動数の電磁波を放出し、あっという間に原子核に落っこちてしまうんだよね。だから、電子は水素原子核のまわりをクルクルいつまでも回り続けることができない。電子は水素原子核のまわりをどうやら回っているらしいということはわかっていたけれど、何故、電子が、原子核に落っこちることなく、そののまわりをいつまでも回り続けられるのかがわからなかった。

そして、ボーアは、量子仮説を水素原子核をまわる電子に適用し、この謎を解決したというわけ。

しかし、ボーアは、何故、角運動量mvaがh/2πの自然数倍になるのかについては説明できなかった。そして、新たな謎を産んでしまった。

 

ボーアの水素原子モデルは電子の軌道が円軌道の場合にのみ適用できるものである。そこで、より一般の軌道にも対応できるように、ゾンマーフェルトによって、ボーアの量子条件は、

　　

と拡張された。これをボーア・ゾンマーフェルトの量子化条件という。

ここで、は、それぞれ、一般化座標と一般化運動量である。

 

水素原子の円運動だけを考えるとき、に極座標のθをとれば、その共役な一般化運動量は角運動量mvaになるので、ボーア・ゾンマーフェルト条件は、

　　

となり、ボーアの量子条件と一致する。

 

拡張したものだから、当たり前といえば当たり前の話！！

 

 

 

ゾーンマーフェルトの量子条件の１次元調和振動子への応用

 

次に、電子などの小さな粒子がが角振動数ωをもって振動する１次元調和振動子について考える。

このとき、１次元調和振動子の力学的エネルギーの和（ハミルトニアン）Eは

　　

になる。ここで、qは一般化座標、pは一般化運動量である。

ハミルトンの正準方程式から

　　

となるので、この連立微分方程式を解くことによって、一般化速度と一般化運動量pを求めることができる。

 

ではあるが、そんな面倒なことをせずに、ハミルトニアンが時刻tを陽に含まないのでエネルギーEは保存されるので、エネルギーEを指定すれば、一般化座標qと一般化運動量pは（１４）式から求めらることができる。

また、（１４）式は、次のように書き換えることができる。

　　

q軸、p軸をそれぞれ横軸、縦軸にとり、（１５）式で与えられる点(q,p)の軌跡を描くとこれは楕円になる。

この作用J

　　

を計算すると、この作用積分は（１５）式で与えられる楕円の面積になるので、

　　

これにボーア・ゾンマーフェルトの量子条件を適用すると、

　　

よって、エネルギーEは

　　

となる。

とし、Eに非負の整数nを対応させてと書くことにすると、

　　

この（１６）式は何かといえば、プランクの量子条件ではないか。

 

量子力学のシュレディンガーの方程式を用いて、１次元調和振動をする量子のエネルギーを求めると、

　　

となるのですが、ニュートン力学とゾンマーフェルトの量子条件という継ぎはぎだらけの理論による計算でも量子力学の計算結果に近い結果を求めることができた。（１６）式のnをn+1/2と補正するだけで、量子力学の理論に基づく（１７）式になるんだから、スゴイじゃないか。

なお、n=0のときに（１７）式から求められるエネルギー

　　

を零点エネルギーといい、この振動を零点振動という。

もし仮に物質を絶対零度できたとしても、この零点振動の存在のために物質内の電子や原子の運動が完全に止まることはない。そして、この零点振動はハイゼンベルグの不確定性原理によるものなんだケロよ。

 

こんな簡単なモデルが何の役に立つと思うかもしれませんが、調和振動子モデルは物性物理学で広く使われているものなんだケロよ。だから、このモデルをバカにしちゃ〜いけない。

 

また、ネムネコが考えるに、電子などのミクロの振動だけではなく、バネの他端に質量mの物質を取り付け、平衡位置から少し引っ張って、それを振動させたマクロな振動の場合についても、（１６）、（１７）式は成り立つはずだ。

つ・ま・り、バネの振動も量子化が可能ってこと。そして、このことから、バネの運動エネルギー、歪みによるポテンシャルエネルギーは連続的な値を持ち得ず、（１６）、（１７）式で与えられる飛び飛びの不連続な値しかとれないことになる。また、我々がこれらのエネルギーを連続的なものと思うのは、単にバネの振動のエネルギーの最小単位が非常に小さくいため、ということになる。要するに、エネルギーのギャップ、飛び飛びの間隔が非常に狭いから、我々にはそれがつながってように感じられるというわけ。デジタル化された音楽や超高画素数の写真や動画をイメージすれば、このことについて納得してもらえるのではないか。

そして、いま、ここに、バネ量子という新たな量子が誕生したことになるんだにゃ(^^ゞ

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Over the years of independence, the institute has trained more than 13000 physicians (including 800 clinical interns, 1116 masters, 200 postgraduates and 20 doctoral students) in various directions.

870 staff work at the institute at present,[when?] including 525 professorial-teaching staff in 55 departments, 34 of them are Doctors of science and 132 candidates of science. 4 staff members of the professorial-teaching staff of the institute are Honoured Workers of Science of the Republic of Uzbekistan, 3 – are members of New-York and 2 – members of Russian Academy of Pedagogical Science.

The institute has been training medical staff on the following faculties and directions: Therapeutic, Pediatric, Dentistry, Professional Education, Preventive Medicine, Pharmacy, High Nursing Affair and Physicians’ Advanced Training. At present[when?] 3110 students have been studying at the institute (1331 at the Therapeutic faculty, 1009 at the Pediatric, 358 at the Dentistry, 175 students at the Professional Education Direction, 49 at the faculty of Pharmacy, 71 at the Direction of Preventive Medicine, 117 ones study at the Direction of High Nursing Affair).

Today graduates of the institute are trained in the following directions of master's degree: obstetrics and gynecology, therapy (with its directions), otorhinolaryngology, cardiology, ophthalmology, infectious diseases (with its directions), dermatovenereology, neurology, general oncology, morphology, surgery (with its directions), instrumental and functional diagnostic methods (with its directions), neurosurgery, public health and public health services (with its directions), urology, narcology, traumatology and orthopedics, forensic medical examination, pediatrics (with its directions), pediatric surgery, pediatric anesthesiology and intensive care, children's cardiology and rheumatology, pediatric neurology, neonatology, sports medicine.

The clinic of the institute numbers 700 seats and equipped with modern diagnostic and treating instrumentations: MRT, MSCT, Scanning USI, Laparoscopic Center and others.

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by Ramonven (2021-07-05 12:38) 

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- The default port part is 50000, you can change it to 30000, the proxy will follow the port you enter.

- Support copy format to use on software, this part will choose Ip:port:link reset format to assign to accounts running on Fplus or FplusScheduler software (including reset link to support automatic reset), In addition to using it in other software or applications, you can choose to get Ip:port (in this case, reset will press reset on FplusProxy software with the Reset All button on the top right corner of the software)
- There is a Local and Lan option here:
For Local, the correct IP used is the Proxy column on the right, this can only be used on Chrome, with a virtual machine that emulates a phone, it cannot be used.
As for Lan mode, it supports using Chrome, using virtual machines and sharing to other computers that share the same LAN with the computer using FplusProxy to use.
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by DavidRal (2021-08-07 23:53) 

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