SSブログ

第14回 無限大、無限小とランダウ記号 [微分]

無限大、無限小とランダウ記号

 

§1 関数の無限大、無限小

aを実数または±∞とする。ならば、x→aのときf(x)無限小であるという。ならばx→aのときf(x)無限大であるという。

 

関数f(x)g(x)が点aで無限小のとき、

  14muge-siki-001.png

という。

 

例1

f(x)=x²,g(x)=xとすると、x→0のとき

だから、f(x)g(x)より高位の無限小。

f(x)=sinxg(x)=xとすると、

だから、f(x)g(x)と同位の無限小。

f(x)=xg(x)=x²とすると、

  landau-siki-002.png

だから、f(x)g(x)より低位の無限小。

 

関数f(x)g(x)が点aで無限大のとき、

  14mugen-siki-002.png

という。



例2

f(x)=logxg(x)=xとすると、

  

だから、logxxよりも低位の無限大。

g(x)=xとすると、

  

だから、xよりも高位の無限大。



問 次のことを示せ。

[解答(?)]

ロピタルの定理より

  landau-siki-004.png

[解答(?)終了]

 

 

§2 ランダウの記号

 

x→aのとき、f(x)/g(x)が無限小、つまり、

  

のとき、

  

で表す。この記号o(g(x))ランダウ記号oランダウのスモール・オー)という。特に、のとき

  

と定める。

 

例3 f(x)=sinxは、x→0ならばf(x)→0だから

  

また、f(x)=x²g(x)=xとすると、x→0のとき、

  

だから、

  

しかし、f(x)=xg(x)=x²のとき、

  

だから、ではない。

つまり、

  

は、一般に成立しない。

 

 

x→aのときに、f(x)/g(x)が有界にとどまるならば、これを

  

で表す。(Oランダウのビッグ・オーという)

特に、

  

のとき、

  

である。

 

例4

x→0のとき、

  

だから、

  

また、x0に限りなく近いとき(ただし、x≠0

  

だから、有界。

よって、

  

である。

 

ラウンダウ記号にはスモール・オーoとビッグ・オーOの2種類があるのだが、以降、スモール・オーo、つまり、o(g(x))をランダウ記号と呼ぶことにする。

 

 


nice!(0)  コメント(0)  トラックバック(0) 

nice! 0

コメント 0

コメントを書く

お名前:
URL:
コメント:
画像認証:
下の画像に表示されている文字を入力してください。

トラックバック 0

この広告は前回の更新から一定期間経過したブログに表示されています。更新すると自動で解除されます。