第１１回 関数の極大と極小

第１１回　関数の極大と極小

 

点aを除くaの近傍の全てのxにおいてf(x)<f(a)であるとき、f(x)はx=aで極大であるといい、f(a)を極大値という。点aを除くaの近傍の全てのxにおいてf(x)>f(a)であるとき、f(x)はx=aで極小であるといい、f(a)を極小値という。極大値、極小値を合せて極値という。

 

定理　関数f(x)が点aで微分可能で、かつ、この点で極値をとれば、f'(a)=0である。

［証明］

f(x)が点aで極大であるとする。

f(x)が点aで極大だからf(x)<f(a)。

x<aのとき、

x>aのとき、

よって、f'(a)=0である。

f(a)が極小値のときも同様。

（証明終）

 

f(x)が開区間Iで微分可能、点a∈Iでf(x)が極値をとるとき、f'(a)=0である。

f(x)=x³（x∈R）とすると、f'(x)=3x²でf'(0)=0であるが、f(x)はx=0で極値を取らない。つまり、上の定理の逆、「f'(a)=0ならばx=aでf(x)は極値をとる」は、一般に成立しない。

 

定理　関数f(x)は点aの近傍で連続、aを除く点aの近傍で微分可能とする。x=aの前後で、f'(x)>0からf'(x)<0に変化するときf(x)はx=aで極大、f'(x)<0からf'(x)>0に変化するときx=aで極小である。

［証明］

x<aでf'(x)>0ならばf(x)は単調に増加し、x>aでf'(x)<0ならば単調に減少するから、x=aのとき極大でなる。

x<aでf'(x)<0ならばf(x)は単調に減少し、x>af'(x)>0ならば単調に増加するから、x=aのとき極小である。

（証明終）

 

f(x)=｜x｜はx=0で極小であるが、x=0で微分可能でないので、f'(0)は存在しない。しかし、

でx=0の前後でf'(x)の符号が−から＋に変じており、上の定理が成り立っていることがわかるだろう。

 

 

定理　f(x)が点aの近傍で微分可能で、かつ、f''(a)が存在するとき、

［証明］

だから、f'(x)はx=aで連続であり、xがaに十分近いとき、f''(a)とは同符号である。

したがって、

f''(a)>0、x<aのとき

f''(a)>0、x>aのとき

よって、x=aの前後でf'(a)の符号が負から正に変わっていて、f(a)は極小値である。

f''(a)<0のときも同様。

（証明終）

 

f(x)が点aを含むある開区間Iで２回微分可能でf''(x)が連続であるとき、上の定理は

テーラーの定理（n=2）

となるcがaとxの間にすくなくとも１つある

を使うと次のように証明できる。

 

xをx∈Iかつx≠aである任意の点とする。

テーラーの定理とf'(a)=0より

となるcがaとxの間にある。

f''(x)はIで連続だから、点xと点aが十分近いとき、f''(c)とf''(a)は同符号。

したがって、f''(c)>0のとき、x≠aだから

よって、f(a)は極小値である。

同様に、f''(c)<0のときf(x)<f(a)となり、f(a)は極大値である。

 

先にあげたf(x)=x³の場合、f'(x)=2x²、f''(x)=6xだから、f'(0)=0、f''(0)=0だから、２次導関数の符号をを用いた極値の判定は出来ない。

f(x)=x³の時のx=0のようにf'(a)=0、f''(a)=0である場合、f(a)をx=aで３次でテーラー展開して判定すればよい。

となることから、

になる。

３次導関数f'''(x)が点aで連続でxとaが十分に近いとき、f'''(c)とf'''(a)は同符号。よって、f'''(a)>0のとき、x<aならばf(x)<f(a)、x>aならばf(x)>f(a)。したがって、f(x)はx=aで極値を取らない。f'''(a)<0のときも同様に、f(x)はx=aで極値を取らない。

このように２次より高次の導関数を用いて極値の判定を行うことが可能である。

 

コメント 1

質問です。
点aで極値をとるとき、f’(a)=0となるという証明で、f(x)-f(a)/x-a>0からlimx→a-0 f(x)-f(a)/x-aで>に=がつく理由が分からないです・・・・。
>になるんじゃ無いかと思ってしまいます。
どうしてですか？
by 真壁小波 (2020-04-07 23:51)